Vecteurs opposés

Définition

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points du plan. On considère le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) .
Alors, on dit que le vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\) est le vecteur opposé au vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

Remarque

Un vecteur et son vecteur opposé ont même direction et même norme, mais ils sont de sens contraires.

Notation

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points du plan. On considère le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) .
Le vecteur \(\overrightarrow{\text{BA}}\) se note aussi \(-\overrightarrow{\text{AB}}\).

Propriété

Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan. On a : \(\overrightarrow{u} + \left(-\overrightarrow{u}\right) = \overrightarrow{0}\).

Démonstration

Soit \(\text A\) un point du plan. On construit le point \(\text B\) tel que \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{u}\). Ainsi, on a \(-\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{\text{AB}}\) soit \(-\overrightarrow{u} = \overrightarrow{\text{BA}}\). On en déduit que l'image du point \(\text B\) par la translation de vecteur \(-\overrightarrow{u}\) est \(\text A\). Donc l'image du point \(\text A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u} + \left( -\overrightarrow{u} \right)\) est le point \(\text A\). Autrement dit, on a \(\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{u} \right) = \overrightarrow{\text{AA}}\) soit \(\boxed{\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{u} \right) = \overrightarrow{0}}\).